300. 最长递增子序列

力扣链接(中等)：https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1 

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

进阶：

• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

个人题解

本题感觉蛮难的，需要注意的是，dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。

其次，状态转移方程 if(nums[j] < nums[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) 其实有点难以理解。

首先，内层 for 循环是为了找到最大的 dp[i]，在 nums[i] > nums[j] 的递增前提下， dp[i] = dp[j] + 1。

这个好理解，因为 nums[j] -> nums[i] 满足了递增关系，把 dp[j] + 1 代表将 dp[j] 即向以 nums[j] 为结尾的某序列末尾加上了 nums[i] 这个元素，故长度 +1。

而 max(dp[i], dp[j] + 1) 是为了在 j 的枚举过程中，迭代出最大的 dp[i]，同样的 max(result, dp[i]) 是为了在 i 的枚举过程中，迭代出最大的 result。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() <= 1) return nums.size();

        // 将 dp 数组初始化为 1
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;

        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                // 递增条件
                // 这里相当于尝试 dp[0~i-1] 找出最长的一个，+1 指 nums[i] 元素本身
                if(nums[j] < nums[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            // 迭代出最大的一个
            result = max(result, dp[i]);
        }

        return result;
    }
};